Um passeio aleatório por nossa intuição

Eu estou dando um curso curto de estatística básica e, acompanhando o radiolab (primeira vez que ouvi, mas gostei muito da produção) lembrei de um resultado interessantíssimo de processos estocásticos, e que por acaso um dos alunos do meu curso perguntou na aula e eu comentei por cima. Mais detalhes você encontra no excelente livro do Feller (An Introduction to probability theory and its applications, vol 1).

Comecemos com um teorema mais simples e também ineressante (ballot theorem). Suponha que dois candidatos, A e B, concorrem numa eleição, com 2n eleitores, e A tem a votos, e B tem b votos. Se A ganha a eleição, então a > b. Qual a probabilidade (assumindo que o voto para A ou B é igualmente provável) de que durante toda a apuração de votos, isto é, a cada voto apurado, A está na frente de B? É fácil demonstrar que esse número é (a-b)/(a+b).

Imagine agora que não se trata de uma eleição, mas de um jogo de lançar uma moeda, em que o jogador A ganha +1 de B se dá cara(K) e paga 1 para B se der Coroa(C). Cito agora o Feller, diretamente, que a passagem é excelente:

“According to widespread beliefs a so-called law of averages should ensure that in a long coin tossing game, each player will be on the winning side for about half the time, and the lead will pass not infrequently from one player to the other.”

Feller então prova que, com probabilidade .5, nenhuma equalização ocorre na última metade do jogo, independentemente do tamanho do jogo. Ou seja, se jogássemos esse jogo 100 vezes, lançando a moeda, digamos, 1000 vezes em cada jogo, aproximadamente 50 em 100 jogos veriam alguém liderar da rodada 500 em diante sem ser ultrapassado pelo outro. Não só isso, mas os momentos (isto é, em qual dos 500 lançamentos) mais prováveis para que ocorra um empate nesse jogo são os valores mais extremos.

Feller dá então os seguintes exemplos:

“a) Suppose que a great many coin-tossing game are conducted simultaneously at the rate of one per second, day and night, for a whole year. On the average, in one out of ten games the last equlization will occur before 9 days have passed, and the leading will not changing during the following 356 days. In one out of twenty cases tha last equalization takes place within 2 1/4 days, and in one out of a hundred cases it occurs within the first two hours and 10 minutes.”

“b) Suppose that in a learning experiment lasting one year a child was consistently lagging except, perhaps, during the initial week. Another child was consistently ahead except, perhaps, during the last week. Would the two children be judged equal ? Yet, let a group of 11 children be exposed to a similar learning experiment involving no intelligence but only chance. One among the 11 would appear as leader for all but one week, another as laggard for all but one week.”

Feller continua com outros resultados totalmente contra-intutitivos, que não vou apresentar aqui. Além de apresentar os resultados contra-intutitivos, o que eu queria mostrar com esse post é algo que eu falei para o meus alunos: não podemos confiar em nossa intuição quando se trata de probabilidade. Apenas a matemática e o raciocínio formal podem nos levar a ter um conhecimento certo e seguro sobre o tema.

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Sobre Manoel Galdino

Corinthiano, Bayesiano e Doutor em ciência Política pela USP.
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