Frequentistas vs Bayesianos

Um amigo me enviou por e-mail essa tirinha do xkcd:

E eu respondi o seguinte:

É, eu não sei qual é a priori nem a função de perda do Bayesiano para ele apostar 50 dólares…

Mas podemos tentar fazer uma conta de chegada e descobrir mais ou menos essa priori.

Teríamos que definir uma função de perda, mas eu vou assumir aqui algo bem simples. Que o Bayesiano está fazendo essa aposta porque ganhar ou perder 50 dólares tem o mesmo benefício. Então, ele acredita que Pr(sol ter explodido| info do detector) <= .5

Mas, pelo teorema de Bayes,

Pr(sol explodiu | detector diz que explodiu) = Priori * verossimilhança/Pr(detector diz que explodiu) =

Pr(sol explodiu) * Pr(detector diz que explodiu| sol explodiu)//Pr(detector diz que explodiu)  =

Pr(sol explodiu) * 0,973/ [ Pr(detector diz que explodiu| sol explodiu)*Pr(sol explodiu) + Pr(detector diz que explodiu| sol não explodiu)*pr(sol não explodiu) ] =

Pr(sol explodiu) * 0,973 / (0,973*Pr(sol explodiu) + 0,027* [1 – Pr(sol explodiu)]).

Chamando Pr(sol explodiu) de x, pra facilitar notação, temos:

x*0,973/ [ x*0,973 + 0,027*(1-x)] <= 0,5

x*0,973/ [ x*0,973 + 0,027- 0,027*x)] <= 0,5

x*0,973/ [ x*0,946 + 0,027)] <= 0,5

x*0,973 <= [ x*0,946 + 0,027)] *0,5

x*0,973 <= [ x*0,473 + 0,0135)]

0,5x <= 0,0135

x <= 0,027

Então, se eu não fiz nenhum conta errada, basta que a priori dele seja de que a chance do Sol explodir é menor ou igual que 2,7%, o que é bastante razoável, pois é um fenômeno raro.

Porém, note que essa tirinha tem uma hipótese forte, que é o fato de que a função de perda é simétrica. Pode fazer sentido, pois se o sol tiver explodindo, não há muito o que fazer, e se ele não tiver explodindo, tbm não precisamos nos preocupar.

 

Porém, imagine que o detector diz se tem um asteroide vindo pra terra e em caso positivo, temos que lançar uma bomba nuclear em 1 minuto para termos tempo de evitar um desastre. Provavelmente a função de perda do Bayesiano seria diferente ( o custo de de um falso positivo é muito maior que um falso negativo) e a decisão, também, diferente (isto é, igual a do frequentista).