Missing Data em Análises Bayesianas

Se tem uma coisa que Bayes é muito superior à abordagem frequentista é quando temos missing data. Não que não seja possível fazer imputação de dados na abordagem frequentista. Apenas é muito mais fácil e natural na abordagem Bayesiana.

Aqui no trabalho nós tivemos um exemplo de missing data. Nós enviamos alguns e-mails mas, devido a problemas no trackeamento, perdemos alguns dados. Asim, decidi utilizar Bayes para estimar a taxa de abertura desses e-mails. O código abaixo mostra o que fiz (os dados são fakes, pois não posso mostrar os dados reais).

library('rjags')

dados <- data.frame(id=1:6, mailing=c(3760, 3385, 2594, 2426, 2899, 1593), view=c(NA, NA, 622, 374, 728, 271))
y <- dados$view
n <- dados$mailing

dataList <- list(
  N = length(y) ,
  y = y ,
  n = n
)

foo <- jags.model(file='missingData.bug',
                  data=dataList)
nstore <- 5e3
thin <- 10
fun <- coda.samples(foo,
                    n.iter=nstore*thin,
                    thin=thin,
                    variable.names=c('y','a', 'b'))

summary(fun)

A única coisa que falta no código acima é o modelo para o JAGS. Eu utilizei um modelo beta-binomial hierárquico. Basicamente, assumo que cada disparo de e-mail é condicionalmente iid (são permutáveis). E cada e-mail tem um número de visualizações que segue uma distribuição binomial, com o número de “trials” variável por e-mail (é o tamanho do mailing). O código abaixo especifica o modelo em JAGS.

model{
for (i in 1:N){
y[i] ~ dbin(pi[i], n[i])
pi[i] ~ dbeta(a,b)
}

a ~ dgamma(1, 0.01)
b ~ dgamma(1, 0.02)
}

Como resultado, eu tenho uma distribuição preditiva para dois e-mails com mailing de 3.760 e 3.385 respectivamente. E eu utilizei a média (a mediana seria até mais robusto) como estimativa pontual. Nesse meu exemplo, os resultados são mais sensíveis à priori, devido ao volume pequeno de dados.